Сайт Романа ПарпалакаБлогКлючевые словаматематика

математика

Статьи по этой теме:
Автоморфные числа
Деление окружности на 5 частей
Формула Эйлера и приближенные методы


Экспонента

Смотрю лекции Алексея Савватеева по математике и получаю удовольствие. Вот лекция, в которой он переделал вузовский курс математики так, что его половина связана с изучением разных свойств экспоненты:

С 1:15:20 он строго доказывает формулу Эйлера о мнимой экспоненте $$e^{iy}=\sin y+i\cos y$$ тем же нестандартным методом, который я использовал в своей заметке про экспоненту и приближенные методы.

3 июля 2017 года, 22:21     математика · видео     Оставить комментарий

Круговая трактриса

Задача: по окружности небольшого радиуса едет трактор. К нему на жестком стержне прикреплен груз (например, прицеп). По какой траектории будет двигаться груз?

Всё зависит от длины стержня. Траектория может быть такой:

Смотрите в блоге о теоретической физике решение задачи и интерактивную анимацию ответа.

29 января 2014 года, 12:22     математика     Оставить комментарий

* Чурофметика

Слушатели Эха Москвы помнят недавнее интервью Чурова, в котором он опровергает математику:

Чуров совершенно правильно назвал свою аналогию с конфетками наперсточничеством. Я собираюсь показать это, предложив адекватную аналогию.

Статистический анализ результатов выборов никакого отношения к нескольким конфеткам не имеет. Чтобы правильно показать его суть, нужно представить следующую ситуацию. Кто-то услышал гипотезу, по которой среди конфет эм-энд-эмс коричневые встречаются чаще. Он заподозрил известную торговую сеть в том, что они нагло вскрывают упаковки и досыпают коричневые конфеты, произведенные где-то в подвалах.

Наш герой отправляется в каждый магазин известной торговой сети и покупает несколько упаковок эм-энд-эмс. Перед тем как съесть очередную упаковку, он аккуратно записывает, сколько конфет каждого цвета в ней было. Герой объехал всю страну и начал анализировать числа.

Известно, что в одну упаковку в силу ограниченности объема можно поместить не больше 100 конфет. Но так как конфеты до упора никто не набивает, разумно ожидать, что в среднем (где-то больше, где-то меньше) в упаковках будет, скажем, 45 конфет. Для начала наш герой строит гистограмму, где по горизонтальной оси отложено общее количество конфет в упаковке, а по вертикальной — число встретившихся упаковок с данным количеством конфет. Он ожидает увидеть более-менее симметричную колоколообразную кривую с максимумом на 45 конфетах (более того, подобное исследование у конкурентов известной торговой сети показало именно такой результат).

Как же удивляется исследователь, обнаружив нечто совершенно неожиданное!

Здесь примечательны три вещи. Во-первых, кривая несимметрична: много упаковок с завышенным количеством конфет. Во-вторых, имеется большой пик в районе 100 конфет. В-третьих, встречаются небольшие пики в районе 80 и 90 конфет, которые можно объяснить только любовью фальсификаторов, подсыпающих конфеты, к круглым числам.

Тогда исследователь строит гистограммы, откладывая по вертикали не число упаковок, а уже общее число конфет разных цветов в упаковках с данным количеством конфет.

Оказывается, что безобразие действительно происходит только с коричневыми конфетами. Кривые для остальных конфет выглядят нормально и переходят друг в друга при растяжении или сжатии по вертикали. Их симметрия говорит о том, что конфеты ярких цветов в результате фальсификаций не изымаются. Таким образом, фальсификации заключаются только в преимущественном добавлении коричневых конфет.

Однако эти кривые позволяют сделать большее — сказать, сколько коричневых конфет было в упаковках до вброса! Так как левая половина коричневой кривой напоминает остальные, распределение которых не отличается от заводского, то можно растянуть красную кривую, чтобы левые половины красной и коричневой кривой совпали, и заменить искаженную правую часть.

«Это прекрасно, но какое отношение имеют все эти конфеты к выборам и причем здесь Чуров?» — спросит нетерпеливый читатель. Если заменить конфеты разных цветов на проценты за ту или иную партию, а упаковки эм-энд-эмсов на избирательные участки, то наше конфетное расследование превратится в описание фальсификаций на выборах.

Подобный анализ проводился для выборов 2007 — 2009 годов и для последних думских выборов (идея несколько подробнее описана в первом материале). Анализ показывает, например, что на последних выборах Единая Россия получила не 49%, а 34%.

Вот такие, господин Чуров, конфетки!

21 января 2012 года, 17:29     политика · математика · видео     Комментарии (6)

Минус один в 28 степени

Из сегодняшнего Особого мнения:

Н.БОЛТЯНСКАЯ: «Правое дело» определилось с кандидатом в государственную думу: без Прохорова, но с теннисисткой Анной Чакветадзе. Как Вы считаете, дальнейший шансы «Правого дела»?

П.ГУСЕВ: Минус один в 28 степени.

Вообще-то всем известно, что (−1)28 равно 1.

20 сентября 2011 года, 22:29     математика · цитаты     Комментарии (5)
Смотрите также:  Айсберг, который переворачивается · Гуманитарии о биноме Ньютона

Егэ-гэ

Я наткнулся на яндексовские варианты тестов ЕГЭ и решил пройти тест по математике. Сначала хотел всё сделать в уме. Но потом сдался: достал калькулятор, чтобы посчитать 13×13×6,5, и на бумажке составил и решил систему двух линейных уравнений.

Результат меня не обрадовал: 10 правильных ответов из 12. В одном задании забыл двойку. Может быть заметил бы ошибку, если бы проверил перед «сдачей». А в другом явно налажали авторы теста. Смотрите:

Я не знаю, как авторы увидели две точки, в которых угловой коэффициент касательной равен 2, но я вижу шесть таких точек:

Объясните мне, может я чего-то не понимаю?

Хорошо, что мне ЕГЭ не сдавать. А то завалил бы ;)

Добавлено: В комментариях объяснили, где я ошибся.

13 мая 2011 года, 13:43     учеба · математика     Комментарии (2)

Рутина 2

Оказывается, убывание амплитуды колебаний по гиперболическому закону — не такая бессмысленная вещь, как может показаться на первый взгляд. Примерно так убывает амплитуда малых колебаний, если сила трения пропорциональна квадрату скорости. Хотя на практике такая вещь, наверно, никогда не реализуется, но никто не запрещает исследовать решение модельного дифференциального уравнения.

13 апреля 2011 года, 00:30     математика · рутина     Оставить комментарий

Гуманитарии о биноме Ньютона

Интересно, это они сговорились, что ли? Раз:

Н. СВАНИДЗЕ — Я что мэр московский? Не моя работа, Сереж. Я же говорю с точки зрения здравого смысла.

С. БУНТМАН – Ну едешь ты в пробке, в метро, ты думаешь о том, с чего…

Н. СВАНИДЗЕ — Это не бином Ньютона. Есть великие города мира, в которых эти проблемы так или иначе решены, нужно посмотреть, как они действовали, приложить это к нашим реалиям. И начать. И все. Тут не нужно иметь сто пятьдесят пядей. Или сколько там надо пядей иметь во лбу.

Два:

При большом желании, это можно было бы сделать в рамках предварительного следствия. Но а уж в рамках возбужденного дела, с привлечением Интерпола и т.д. это совсем не выглядит Биномом Ньютона.

Но мы-то знаем, что бином Ньютона — это всего лишь процесс раскрытия скобок, для которого нужно знать лишь правила сложения и умножения.

15 ноября 2010 года, 13:11     математика · цитаты     Комментарии (3)
Смотрите также:  Айсберг, который переворачивается · Минус один в 28 степени

Исследование на миллион

Задача о расположении прямых на плоскости была сформулирована В. И. Арнольдом в 1983 году. С тех пор эта нерешенная математическая проблема занимает лучшие умы человечества, подкупая простотой формулировки и создавая ощущение (в общем-то, ложное) близости решения.

Мы с Сергеем Белёвым и Денисом Уткиным рады сообщить о нашем скромном вкладе и представить отчет (PDF, 714 Кб) об упорных двухлетних исследованиях. В них использовались параллельные вычисления на десятках процессоров, некоторые сведения из теории группы кос и симметрической группы, а также факты из школьной геометрии и тригонометрии.

По понятным причинам в отчет включены только наиболее важные результаты. Тем не менее, он содержит изложение нескольких гениальных идей, проливающих свет на отдельные аспекты проблемы, существенно продвигающих ее понимание и даже позволяющих решить задачу в некоторых частных случаях.

Мы надеемся в ближайшем будущем полностью решить задачу и завершить наше исследование.

1 апреля 2010 года, 12:00     математика     Оставить комментарий
Смотрите также:  Задача

Рутина

13 декабря 2009 года, 02:12     математика · рутина     Оставить комментарий

Опять Вебпланета

Ага. Курсив мой.

Еще одним источником бесконечного количества комбинаций являются иррациональные числа. Например, число «е» бесконечно, и последовательность цифр на любом заранее выбранном его участке — неповторяющаяся. Таким образом, если взять любой сколь угодно большой набор цифр, то он должен содержаться в этом числе.

А то, что написано после слов «таким образом», в одно предложение не обосновывается. Это утверждение — вообще нерешенная математическая проблема.

Иногда нужно смотреть дальше Википедии.

3 июля 2009 года, 01:57     обзор · математика · www     Комментарии (3)

Парадоксы из математики

Лебедев про парадоксы и апории. Видно, что он не читал замечательных книг Мартина Гарднера. И про парадокс Рассела он, наверно, тоже ничего не знает...

1 мая 2008 года, 03:08     Лебедев · математика     Комментарии (1)

Calc

Оказывается, что калькулятор Windows может считать факториалы от дробных чисел. При этом на самом деле вычисляется гамма-функция Эйлера. Например, «факториал» от −0,5 есть корень из числа пи.

2 апреля 2008 года, 16:59     софт · математика     Оставить комментарий

Задача

На плоскости проведены n прямых, разбивающих ее на области. Они раскрашиваются в шахматном порядке: области, имеющие общие стороны, должны быть покрашены в разные цвета. Чему равна максимальная разность между числом черных и белых областей?

PS. Для заинтересовавшихся этой задачей приведу одну картинку для семи прямых:

7 прямых

Разность между числом черных и белых областей на этом рисунке — 7. Расположение прямых, дающее такую разность, не единственное, но вычисления на компьютере показали, что улучшить данный результат нельзя.

9 марта 2008 года, 20:44     математика     Комментарии (5)
Смотрите также:  Исследование на миллион

Лавинообразный клеточный автомат

Некоторое время назад я услышал описание следующей модели. Имеется «решетка» из квадратных ячеек. В каждой ячейке могут находиться частицы. На решетку случайным образом падают частицы. Если при добавлении новой частицы в ячейке становится 4 частицы, возникает неустойчивость, и эти 4 частицы переходят в соседние ячейки (соседями считаются ячейки, имеющие общие стороны). Если неустойчивая ячейка находится на границе решетки, то одна из частиц просто покидает структуру. Исследование «лавинообразных» процессов, когда в решетке скапливается достаточное количество частиц, представляет определенный интерес.

Данная система является (как и игра «Жизнь») клеточным автоматом. Такую систему легко запрограммировать. В ней могут возникать нетривиальные конструкции. Например, если сначала в каждую ячейку положить по 2 частицы, и потом добавлять частицы случайным образом, почти всегда возникают образования («генераторы»), испускающие «волны». А вот что получается, если сначала заполнить каждую ячейку четырьмя частицами и посмотреть, что останется, когда излишки «ссыпятся» через края:

Стоит усовершенствовать программу, нарисовавшую эту картинку, и исследовать данную модель подробнее.

6 ноября 2007 года, 15:30     математика     Комментарии (7)

Энциклопедия последовательностей целых чисел

Энциклопедия последовательностей целых чисел.

Как-то на спецкурсе по теории групп мы занимались уравнением классов. Когда надо было проверить результат работы программы, искавшей его решения, в этой энциклопедии была найдена зависимость числа решений от количества переменных.

4 декабря 2006 года, 22:25     математика     Оставить комментарий

Еще немного математики

Кажется, появился повод несколько расширить предыдущую заметку о нуле в нулевой степени.

Илья Бирман написал новый пост, цитирую:

...связь математики и здравого смысла.

Понимания этой связи не хватает не только школьникам, которых он учит, но и многим взрослым людям. Именно отсутствие такого понимания не позволяет многим людям принять то, что 00=1 просто потому, что это удобно и ничему не противоречит.

Пару дней назад нам на лекциях сказали про какую-то величину δ(m), которая равна 1, если m<0, и (-1)m, если m>0. Мы принялись составлять формулы для величины δ(m), которые работали бы для любых m. Получилось вот что:

δ(m) = (-sign m)m = (-1)(m+|m|)/2

Вторая формула — моя. Видно, что в первой формуле при m=0 возникает неопределенность 00. И можно заметить, что она будет работать, если положить 00=1. Тогда я вспомнил Илью с его утверждением :)

Ну а что касается понимания математики, здравого смысла, и связи между ними — повторю, что сколь угодно большое число примеров не доказывают утверждение, а хотя бы один — опровергает, и этим всё сказано.

Добавлено: По поводу утверждения о том, что 00=1, у меня есть еще несколько мыслей.

1. По поводу ряда формул, упомянутых в этом комментарии. Следует понимать, что нет математических формул самих по себе. Каждая формула — по сути дела теорема, доказанная при определенных условиях. Например, формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа доказывается для значений x из проколотой окрестности x0, то есть не совпадающих с x. При этом, разумеется, никаких 00 не возникает.

2. Та полемика, которая разведена в комментариях, по объему и важности совсем не соответствует обсуждаемой проблеме. Лично я не буду ощущать никакой выгоды, считая, что 00=1.

3. Пытаясь применять в каждом случае то, что 00=1, Вы, Илья, можете столкнуться с тем, что это «правило» даст осечку. И неизвестно, какие у этого могут быть последствия :)

27 ноября 2006 года, 15:28     математика     Комментарии (2)

Математическая строгость и физики

Об отношении физиков к математическим строгостям очень хорошо написано во вступлении к книге «Квантовая механика и интегралы по траекториям» Р. Фейнмана и А. Хибса:

В книге Фейнмана и Хибса не дано строгого определения интеграла по траекториям; он вводится чисто интуитивно как предел соответствующего многократного интеграла (заметим, что введение комплексной единицы существенно усложняет строгое обоснование такого предельного перехода). Впрочем, для физика это в большинстве случаев не очень важно; ему нужна лишь уверенность, что строгое доказательство может быть получено.
7 октября 2006 года, 13:19     физика · математика     Комментарии (3)

Небольшое разъяснение

Илья Бирман позволил, как мне сперва показалось, несколько вольное заявление о том, что 00 = 1. Однако в ходе обмена мнениями выяснилось, что это не полушутливое, а вроде как серьезное мнение, от которого автор ни на шаг не отступит.

Как можно видеть в комментариях, не помогли мои объяснения того, откуда берется определение нулевой степени числа, разъяснения понятия «неопределенность» и «раскрытие неопределенности», а также другие соображения.

Его аргументация сводилась к тому, что это нужно «прочувствовать», а так же к нескольким примерам, в которых можно добиться несколько большего удобства в обозначениях, приняв, что 00 = 1. Могу напомнить элементарные сведения из логики: сколь угодно много частных примеров не доказывают общее утверждение, а хотя бы один контрпример его опровергает.

Почувствовав безрезультатность данного спора, я предпочел тихо удалиться, так как у меня был определенный опыт таких споров. Но тут Илья пишет очередное сообщение, в котором сказано:

Как мы уже знаем, есть две интересных категории граждан:
— люди, которые не понимают того, что 0,(9) = 1;
— люди, которые не понимают того, что 00 = 1.

О первой ничего утверждать не буду. Оставив свои комментарии ко второй заметке, я оказался невольно записанным Ильей в категорию тех, «которые не понимают того, что 00 = 1», что и вынудило меня высказать здесь свое мнение. Что же, Илья частично прав, ибо я не могу понять неправильное утверждение.

Надеюсь, теперь должно быть ясно, кто и в чем заблуждается.

Ничего личного, Илья. Только чистая математика...

14 сентября 2006 года, 19:45     математика     Оставить комментарий

Десять историй о математиках и физиках

Советую почитать Десять историй о математиках и физиках. Автор в популярной форме рассказывает о различиях между физикой и математикой, касается истории развития квантовой механики и доказательства теоремы Ферма, а так же рассматривает другие интересные вопросы.

Весьма познавательно, рекомендуется всем.

5 апреля 2006 года, 18:48     наука · математика · физика · что почитать     Комментарии (1)
Поделиться
Записи