Деление окружности на 5 частей

Итак, перед нами стоит задача, которая эквивалентна вписыванию в окружность правильного пятиугольника. Если у нас есть циркуль и линейка, то задача эта не очень сложная.

Опишем построение:

1. Проводим окружность с центром в точке O.
2. Проводим диаметр AB.
3. Восстанавливаем перпендикуляр CD к прямой AB в точке O. Для этого достаточно провести окружности с центрами в  точках A и B с одинаковыми радиусами и провести прямую через точки пересечения этих окружностей.
4. Аналогичным построением разделим отрезок AO точкой E пополам.

5. Проведем окружность из точки E радиусом CE и найдем точку F пересечения с отрезком AB.

6. CF — искомый отрезок, являющийся стороной вписанного пятиугольника.

Откладывая окружности с радиусом CF, мы разделим окружность на пять частей. Если провести построения аккуратно, хорошим циркулем, то деление получится точное. Доказательство этого факта оставим в качестве небольшого упражнения. Замечу, что для него нужно несколько раз применить теорему Пифагора, а также найти, чему равен sin 36°.

Те же самые построения можно выполнить, не используя линейки. По этой теме могу порекомендовать брошюру Геометрические построения одним циркулем из серии «Популярные лекции по математике».