Сайт Романа ПарпалакаЗаметкиНаучный калейдоскопДеление окружности на 5 частей

Деление окружности на 5 частей

14 ноября 2005 года

Разделим окружность на пять частей. Задача эквивалентна вписыванию в окружность правильного пятиугольника. Если у нас есть циркуль и линейка, то решение не очень сложное.

$$\usetikzlibrary{calc} \begin{tikzpicture}[scale=1.0545] \def\centerarc[#1](#2)(#3:#4:#5){ %\centerarc[draw opts](cntr)(init.ang.:fin.ang.:rad) \draw[#1] ($(#2)+({#5*cos(#3)},{#5*sin(#3)})$) arc (#3:#4:{#5}); } \def\r{1.4} \def\ra{(sqrt(5.0*\r*\r))} \def\pp{(-\r+\ra)} \def\rb{sqrt(4.0*\r*\r+\pp*\pp)} \def\dl{0.1} \def\v{3.2} \coordinate [label=below right:{$O$}] (O) at (0,0); \coordinate [label=left:{$A$}] (A) at (180:2*\r); \coordinate [label=below:{$E$}] (E) at (180:\r); \coordinate [label=below right:{$F$}] (F) at (0:\pp); \coordinate [label=right:{$B$}] (B) at (0:2*\r); \coordinate [label=above right:{$C$}] (CC) at (90:2*\r); \coordinate [label=below:{$D$}] (D) at (-90:2*\r); \draw[black] (O) circle (2*\r); \draw (A) -- (B) (CC) -- (D) ($(A)!0.5!(E)$) +(0,\dl) -- +(0,-\dl) ($(O)!0.5!(E)$) +(0,\dl) -- +(0,-\dl); \draw [very thin,->] (E) -- +(55:{\ra}); \centerarc[very thin](-\r,0)(-5:70:\ra); \draw [very thin,->] (CC) -- +(-53:{\rb}); \centerarc[very thin](90:2*\r)(-33:\s-64:\rb); \foreach \s in {0,72,...,300} \centerarc[red,thick]({90+\s}:2*\r)(\s-32:\s-40:\rb); \foreach \point in {A,B,CC,D,O,E,F} \fill [black,opacity=.6] (\point) circle (1.3pt); \draw[line width=0.21mm,opacity=0] (-\v,-\v) rectangle (\v,\v); \end{tikzpicture}$$

Опишем построение циркулем и линейкой:

  1. Проводим окружность с центром в точке O.
  2. Проводим диаметр AB.
  3. Восстанавливаем перпендикуляр CD к прямой AB в точке O. Для этого достаточно провести окружности с центрами в  точках A и B с одинаковыми радиусами и провести прямую через точки пересечения этих окружностей.
  4. Аналогичным построением разделим отрезок AO точкой E пополам.
  5. Проведем окружность из точки E радиусом CE и найдем точку F пересечения с отрезком AB.
  6. CF — искомый отрезок, являющийся стороной вписанного пятиугольника.

Откладывая окружности с радиусом CF, мы разделим окружность на пять частей. Если провести построения аккуратно, хорошим циркулем, то деление получится точное. Доказательство этого факта оставим в качестве небольшого упражнения. Замечу, что для него нужно несколько раз применить теорему Пифагора, а также найти, чему равен sin 36°.

Те же самые построения можно выполнить, не используя линейки. По этой теме могу порекомендовать брошюру Геометрические построения одним циркулем из серии «Популярные лекции по математике».

Поделиться
Посмотрите в блоге